Способы решения диофантовых уравнений. / научно-исследовательская работа /

Содержание:

Исследования неравенств и варианты выполнения
Нахождение одного решения
Неравенства на линиях и кривых
Поэтому (z0>1). (14)
Вывод:
Диофантов анализ
Линейные диофантовы уравнения
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Кто такой Диофант?
Нахождение количества решений и сами решения в заданном отрезке
Поиск алгоритма выполнения неравенств
Проблема разрешимости
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования неравенств и варианты выполнения

При изучении рациональных (или интегральных) точек на алгебраических многообразиях возникает первая проблема, заключающаяся в их существовании. Десятая задача Гильберта сформулирована как проблема нахождения общего метода решения этого вопроса. В процессе создания точного определения алгоритма и после того, как было доказано, что подобных выполнений для большого числа задач не существует, проблема приобрела очевидный отрицательный результат, и наиболее интересным вопросом является определение классов диофантовых уравнений, для которых существует указанная выше система. Наиболее естественным подходом, с алгебраической точки зрения, является так называемый принцип Хассе: начальное поле K изучается вместе с его пополнениями K_v по всем возможным оценкам. Поскольку X(K) = X(K_v) являются необходимым условием существования, а K точка учитывает, что множество X(K_v) не пусты для всех v.

Важность заключается в том, что он сводит две проблемы. Вторая намного проще, она разрешима известным алгоритмом

В частном случае, когда многообразие X проективно, лемма Гензеля и его обобщения делают возможным дальнейшее сокращение: проблему можно свести к изучению рациональных точек над конечным полем. Затем он решается строить концепцию либо путем последовательного исследования, либо более эффективными методами.

Последнее важное соображение состоит в том, что множества X(Kv) являются непустыми для всех v, за исключением конечного числа, так что количество условий всегда конечное, и они могут быть эффективно проверены. Однако принцип Хассе не применим к кривым степени

Например, 3×3 +4y3=5 имеет точки во всех p-адических числовых полях и в системе действительных чисел, но не имеет рациональных точек.

Этот способ послужил отправным пунктом для построения концепции, описывающей классы главных однородных пространств абелевых многообразий для выполнения «отклонения» от принципа Хассе. Оно описывается в терминах специальной структуры, которые могут быть связаны с каждым многообразием (группа Тейта-Шафаревича). Основная трудность теории заключается в том, что методы вычисления групп сложно получить. Эта концепция также была распространена на другие классы алгебраических многообразий.

Нахождение одного решения

Проблемы со сном у ребенка в 9 месяцев и способы их решения

Найти одно из решений диофантова уравнения с двумя неизвестными можно с помощью Расширенного алгоритма Евклида. Предположим сначала, что числа и неотрицательны.

Расширенный алгоритм Евклида по заданным неотрицательным числам и находит их наибольший общий делитель , а также такие коэффициенты и , что:

Утверждается, что если делится на , то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Доказательство следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель.

Предположим, что делится на , тогда, очевидно, выполняется:

т.е. одним из решений диофантова уравнения являются числа:

Мы описали решение в случае, когда числа и неотрицательны. Если же одно из них или они оба отрицательны, то можно поступить таким образом: взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных и в соответствии с настоящим знаком чисел и соответственно.

Реализация (напомним, здесь мы считаем, что входные данные недопустимы):

int gcd (int a, int b, int & x, int & y) {
	if (a == ) {
		x = ; y = 1;
		return b;
	}
	int x1, y1;
	int d = gcd (b%a, a, x1, y1);
	x = y1 - (b  a) * x1;
	y = x1;
	return d;
}
 
bool find_any_solution (int a, int b, int c, int & x0, int & y0, int & g) {
	g = gcd (abs(a), abs(b), x0, y0);
	if (c % g != )
		return false;
	x0 *= c  g;
	y0 *= c  g;
	if (a < )   x0 *= -1;
	if (b < )   y0 *= -1;
	return true;
}

Неравенства на линиях и кривых

Контрольная работа, самостоятельная работа, задачи по математике 3 класс

Группа X(K) может быть представлена как прямая сумма свободной структуры ранга r и конечной группы порядка n. С 1930-х годов изучается вопрос о том, ограничены ли эти числа на множестве всех эллиптических кривых над данным полем K. Ограниченность кручения n была продемонстрирована в семидесятых годах. Существуют кривые произвольного высокого ранга в функциональном случае. В числовом случае по-прежнему нет ответа на этот вопрос.

Наконец, гипотеза Морделла утверждает, что количество интегральных точек является конечным для кривой рода g>1. В функциональном случае эта концепция была продемонстрирована Ю. И. Маниным в 1963 году. Основным инструментом, используемым при доказательстве теорем конечности в диофантовой геометрии, является высота. Из алгебраических многообразий размерности выше единицы абелевы многообразия, которые являются многомерными аналогами эллиптических кривых, были наиболее тщательно изучены.

А. Вейль обобщил теорему о конечности числа образующих группы рациональных точек на абелевы многообразия любой размерности (концепция Морделла-Вейля), распространив ее. В 1960-х годах появилась гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера, усовершенствовавшая эту и группу и дзета-функции многообразия. Числовые доказательства подтверждают эту гипотезу.

Поэтому (z0>1). (14)

Работа гбоу детский сад 635 в санкт-петербурге — 12 вакансии

Положив q=x1, p=y1, t=z1, мы видим, что если существует решение , то должно существовать и другое решение , причем 01. Этот процесс получения решений уравнения (2) можно получать неограниченно, и мы получим последовательность решений

, , …, , … ,

причем целые положительные числа z, z1, z2 ,…, zn , …будут монотонно убывать; другими словами, будут верны неравенства

z> z1 > z2 >…> zn >…

Но целые положительные числа не могут образовать бесконечную монотонно убывающую последовательность, так как в такой последовательности не может быть больше z членов. Мы пришли, таким образом, к противоречию, предположив, что уравнение (2) имеет хотя бы одно решение в целых x, y, z, xyz=0. Этим доказано, что уравнение (2) не имеет решений. Следовательно, и уравнение (1) не имеет решений в целых положительных числах , так как в противном случае, если — решение (1), то — решение (2).

Метод доказательства, которым мы пользовались, заключавшийся в построении с помощью одного решения бесчисленной последовательности решений с неограниченно убывающими положительными z, называется методом спуска. Как мы уже говорили выше, осуществить этот метод в общем случае теоремы Ферма мешает пока не единственность разложения целых чисел алгебраических колец на простые сомножители того же кольца (См.).

Заметим, что мы доказали отсутствие целых решений не только у уравнения (2), но и у уравнения

x4n+y4n=z2n .

Любопытно отметить, то уравнение

x4+y2=z2

имеет бесчисленное множество решений в целых положительных числах, например x=2, y=3, z=5.

Пример. Докажем, что уравнение

x4+2y4=z2 (15)

не имеет решений в целых, отличных от нуля числах x,y,z.

Допустим, что уравнение (15) имеет решение в целых положительных числах

. Эти числа мы сразу можем предполагать взаимно простыми, так как если бы они имели бы НОД=d>1, то числа x/d, y/d, z/d2 также были бы решением уравнения (15). Наличие общего делителя у двух из них влекло бы за собой существование общего делителя у всех трех. Кроме того, предположим, что z – наименьшее из всех возможных z в решениях (15) в целых положительных числах. Так как –решение уравнения (15), то будут решением уравнения

x2+2y2=z2 (16)

Пользуясь формулами(1’) из §4,Пример2, дающими все целые положительные решения (16), мы видим, что существуют такие целые положительные a и b, (a,b)=1, a нечетно, которые удовлетворяют равенствам

x2= +(a2-2b2), y2=2ab,z=a2+2b2 (17)

Из равенства y02 =2ab следует, что b само должно быть четно, так как y четно, y делится на 4, а a нечетно. Так как (b/2,a)=1, то из равенства

(y/2)2=a*b/2

непосредственно следует, что

a=m2, b/2=n2,

где m и n- целые положительные и (m,2n)=1. Но из (17) следует

x2=+(a2-2b2)=+[a2-8(b/2)2], (18)

где a и x- нечетны. Мы уже видели, что квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в остатке 1.Поэтому левая часть (18) при делении на 4 дает в остатке 1. Значит, в равенстве (18) скобка в правой части может входить только с плюсом. Теперь равенство (18) можно записать уже в форме

x2=m4-8n4

или в форме

x2+2(2n2)2=(m2)2, (19)

где x, n, m-целые положительные и взаимно простые числа. Значит, числа x, 2n2, m2 образуют решение уравнения (16), причем x, m2, 2n2

взаимно просты. Поэтому в силу формул (1’),§4,Пример2 найдутся такие целые числа p и q, p-нечетно, (p,q)=1, что

2n2=2pq, m2=p2+2q2, x=+(p2-2q2). (20)

Но так как (p, q)=1 и n2=pq, то p=s2, q=r2 , где s и r-целые взаимно простые числа. Отсюда окончательно следует соотношение

s4+2r4=m2 , (21)

которое показывает, что числа s, r, m образуют решение уравнения (15). Но из вышеполученных равенств

z=a2+2b2, a=m2 .

следует, что z > m. Итак, имея решение , мы нашли другое решение

, причем 0 . Это же противоречит предположению, аоторое мы сделали, что решение имеет другое решение z наименьшим из возможных. Таким образом, мы пришли к противоречию, допустив существование решения у уравнения (15), и доказали, что это уравнение неразрешимо в целых, отличных от нуля числах.

Вывод:

Более трехсот лет теорема Ферма привлекала внимание многих поколений математиков и служила беспрецедентным стимулом для развития математики. При попытках ее доказать были разработаны мощные средства, приведшие к созданию обширного раздела математики- теории алгебраических чисел

С помощью теоретико –числовой техники теорема Ферма была проверена для всех n

Литература:

Химчин А.Я. «Великая теорема Ферма»
Башмакова И.Г. «Диофант и диофантовы уравнения», М.:Наука,1972г.
Гельфонд А.О. «Решение уравнений в целых числах», М, 1957г.
Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма// Соросовский образовательный журнал. 1998г.№2.Стр.135-138.
Хамов Г.Г. «Элементы теории диофантовых уравнений в задачах и
упражнениях», Учебное пособие, С-П.:1986г.

Оглавление

Диофантов анализ

Отделение математики, предметом которого является исследование интегральных и рациональных решений систем уравнений алгебры методами геометрии, из той же сферы. Во второй половине XIX века появление этой теории чисел привело к изучению уравнений Диофанта из произвольного поля с коэффициентами, и решения рассматривались либо в нем, либо в его кольцах. Система алгебраических функций развивалась параллельно с числами. Основная аналогия между двумя, которая была подчеркнута Д. Гильбертом и, в частности, Л. Кронекером, привела к равномерному построению различных арифметических концепций, которые обычно называются глобальными.

Это особенно заметно, если изучаемые алгебраические функции над конечным полем констант являются одной переменной. Такие понятия, как теория полей классов, делитель, а также ветвление и результаты являются хорошей иллюстрацией вышеизложенного. Эта точка зрения была принята в системе диофантовых неравенств только позднее, а систематическое исследование не только с численными, но и с коэффициентами, которые являются функциями, началось только в 1950-х годах. Одним из решающих факторов в этом подходе было развитие алгебраической геометрии. Одновременное изучение полей чисел и функций, которые возникают как две одинаково важные стороны одного и того же субъекта, не только давало изящные и убедительные результаты, но приводило к взаимному обогащению двух тем.

В алгебраической геометрии понятием многообразия заменяется неинвариантный набор неравенств над данным полем K, а их решения заменяются рациональными точками со значениями в K или в конечном его расширении. Можно, соответственно, сказать, что фундаментальная задача диофантовой геометрии заключается в изучении рациональных точек алгебраического множества X(K), X при этом — определенные числа в поле K. Целочисленное выполнение имеет геометрический смысл в линейных диофантовых уравнениях.

Линейные диофантовы уравнения

Общий вид линейного диофантова уравнения:

a1x1+a2x2+…+akxk=d.{\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{k}x_{k}=d.}

В частности, линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

ax+by=c.(1){\displaystyle ax+by=c.\qquad (1)}

Если (a,b)∤c{\displaystyle (a,b)\nmid c} (то есть наибольший общий делитель (a,b){\displaystyle (a,\;b)} не делит c{\displaystyle c}), то уравнение (1) не разрешимо в целых числах. В самом деле, если (a,b)≠1{\displaystyle (a,\;b)\neq 1}, то число, стоящее слева в (1), делится на (a,b){\displaystyle (a,\;b)}, а стоящее справа — нет. Справедливо и обратное: если в уравнении ax+by=c{\displaystyle ax+by=c} выполняется (a,b)∣c{\displaystyle (a,b)\mid c}, то оно разрешимо в целых числах.

Пусть (x,y){\displaystyle (x_{0},\;y_{0})} — частное решение уравнения ax+by=c{\displaystyle ax+by=c}. Тогда все его решения находятся по формулам:

{x=x−nb(a,b)y=y+na(a,b)n∈Z.{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}-n{\frac {b}{(a,\;b)}}\\y=y_{0}+n{\frac {a}{(a,\;b)}}\end{cases}}\quad n\in \mathbb {Z} .}

Частное решение (x,y){\displaystyle (x_{0},\;y_{0})} можно построить следующим образом. Если (a,b)≠1{\displaystyle (a,b)\neq 1} и c{\displaystyle c} делится на (a,b){\displaystyle (a,b)}, то после деления всех коэффициентов на (a,b){\displaystyle (a,b)} уравнение приобретает вид a1x+b1y=c1{\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}, где (a1,b1)=1{\displaystyle (a_{1},b_{1})=1}. Для последнего уравнения частное решение получается из соотношения Безу для a1,b1{\displaystyle a_{1},b_{1}}:

ua1+vb1=1,{\displaystyle ua_{1}+vb_{1}=1,}

исходя из которого, можно положить (x,y)=(c1⋅u,c1⋅v).{\displaystyle (x_{0},\;y_{0})=(c_{1}\cdot u,\;c_{1}\cdot v).}

Известна явная формула для серии решений линейного уравнения:

{xt=caφ(b)−1+bt,yt=c1−aφ(b)b−at,{\displaystyle {\begin{cases}x_{t}=ca^{\varphi (b)-1}+bt,\\y_{t}=c{\frac {1-a^{\varphi (b)}}{b}}-at,\end{cases}}}

где φ(⋅){\displaystyle \varphi (\cdot )} — функция Эйлера, а t — произвольный целый параметр.

Предварительный просмотр:

Линейные диофантовы уравнения

ax + by = c, a≠0, b≠0

(x;y) – решение уравнения

x, y– целые числа

Задание 1

2x + 3y = 6 (1)

y = 2 -x (2)

y = 2 — 2×1 (3)

(3х1;2-2×1)- решение уравнения

х1 — любое целое число

При x1=0, x=3×1, y=2-2×1=2

(0;2) – решение уравнения

При x1=1х = 3х1=3 ,у = 2 -2х1=0

(3;0) – решение уравнения

Задание 2

У покупателя и продавца имеются монеты только по 2р. и 5р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1р.?

Решение.

Если покупатель даст х монет по 2р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1р. Следовательно,

2х + 5у = 1 (4)

х = -2у + () (5)

у = 2n + 1, n — целое число

х = -5n – 2

(-5n –2;2n + 1)–решение уравнения

(-2;1) – решение уравнения

(3;-1) – решение уравнения

Задание 3

(Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи)

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждого голубя – по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Решение.

Пусть купили х воробьёв, у горлиц, тогда голубей купили (30 – х – у).

х + у + 2(30 — х – у)= 30

2х + 3у + 12(30 – х – у) = 180,

10х + 9у = 180

у = 10у1

х + 9у1 = 18

х = 9х1

х1 + у1 = 2

х1 = 1, у1 = 1

х = 9х1, у = 10у1

х = 9; у = 10; 30 – 10 – 9 = 11

Ответ: 9 воробьев, 10 горлиц, 11 голубей.

Задание 4

(Задача Л. Эйлера)

Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?

Решение.

Пусть чиновник купил х лошадей и у быков.

31х + 21у = 1770.

3: х = 3х1, х1 – натуральное число

31х1 + 7у = 590,

х1 =

х1 = =

= 19 –

х1 = 17, х = 51

(51;9)- решение уравнения

х1= 19 — = 19 – = = 17 –

х1 – целое число

При у = 9 + 31=40, х1 = 10, х =30

При у = 40 + 31 = 71, х1 = 3, х = 9

(51;9), (30;40), (9;71)

Ответ: чиновник купил лошадей и быков 51 и 9, или 30 и 40, или

Предварительный просмотр:

1 слайд: Добрый день, глубокоуважаемые председатель и члены государственной экзаменационной комиссии! Позвольте представить Вашему вниманию результаты выпускной квалификационной работы по теме «Диофантовы уравнения».

Одной из целей математического образования, является интеллектуальное развитие учащихся. Результаты ЕГЭ последних лет свидетельствуют о том, что задания типа С-6 зачастую вызывают огромные затруднения у современных учеников и выпускников общеобразовательных учреждений, так как на занятиях не уделяется должного внимания подобного рода задачам, и причин тому немало: недостаток времени, нехватка методической литературы, слабый уровень математической подготовки выпускников.

В связи с вышесказанным, тема «Диофантовы уравнения», то есть решение уравнений в целых и рациональных числах является актуальной.

2 слайд: Охарактеризуем методологический аппарат исследования, который представлен на слайде.

3 слайд Цель работы (ЗАЧИТАТЬ СО СЛАЙДА!!). Для достижения поставленной цели было необходимо решение следующих задач, которые представлены на слайде.

4 слайд: Характеризовать содержание квалификационной работы будем в логике поставленных задач. Первая задача решается в теоретической части работы. Приводится краткая характеристика содержания книги второй «Арифметики», рассматриваются примеры решения неопределенных уравнений, представленные Диофантом. ТАКИМ ОБРАЗОМ, РЕШЕНА ПЕРВАЯ ЗАДАЧА РАБОТЫ!

5 слайд: Вторая задача изучить и изложить методы Диофанта решается в третьем разделе теоретической части исследования.

Здесь подробно рассматривается классификация алгебраических кривых, в рамках которой неопределенные уравнения систематизируются по порядкам и родам. Ставится вопрос о решении в рациональных положительных числах неопределенных уравнений второй степени с двумя неизвестными.

6-7 слайды: Приводится краткая характеристика диофантовых методов решения неопределенных уравнений: метода «А», метода «В» и метода образующих.

Методы «А» и «В» заключаются в следующем: применяются подстановки, представленные на слайде. Метод образующих является геометрическим способом решения диофантовых уравнений.

На слайде представлено решение диофантова уравнения методом «В». ТАКИМ ОБРАЗОМ, РЕШЕНА ВТОРАЯ ЗАДАЧА РАБОТЫ!

8 слайд: Решению третьей задачи посвящены с шестого по восьмой разделы теоретической части. Рассматриваются диофантовы уравнения первого и второго порядков, способы их решения в целых числах, а также неопределенные уравнения в рациональных числах.

Линейным диофантовым уравнением называется уравнение вида, определение которого представлено на слайде.

9 слайд: В настоящее время задача решения неопределенных уравнений формулируется следующим образом: требуется найти множество всех решений данной системы.

10 слайд: Для диофантовых уравнений имеет место теорема, позволяющая установить наличие корней или же их отсутствие (ЗАЧИТАТЬ СО СЛАЙДА!!!).

11 слайд: При решении диофантовых уравнений первого порядка необходимо ответить на вопросы (ЗАЧИТАТЬ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СО СЛАЙДА!!!).

12 слайд: Существуют следующие способы решения линейных диофантовых уравнений (ЗАЧИТАТЬ СО СЛАЙДА!!!). Все они подробно рассмотрены в тексте работы, а также приведены задачи, решенные данными методами самостоятельно.

13 слайд: Уравнения второй степени с двумя неизвестными могут не иметь решений в целых числах, иметь конечное или бесконечное число целочисленных решений.

14 слайд: Существуют различные способы их решения. Мы в рамках ВКР рассмотрели следующие (ЗАЧИТАТЬ НЕКОТОРЫЕ СО СЛАЙДА!!!).

15 слайд: Задачи, представленные на слайде, решены методами полного перебора вариантов и выражения одной переменной через другую с последующим выделением целой части, подробное их решение вы можете видеть в тексте работы. ТАКИМ ОБРАЗОМ, РЕШЕНА ТРЕТЬЯ ЗАДАЧА РАБОТЫ!

16-17 слайды:Четвертая задача решается во второй части исследования.

Приводятся примеры задач, сводящихся к решению диофантовых уравнений. На слайде представлены некоторые из них. В работе приведены различные задачи, решенные самостоятельно.

18 слайд: Некоторые результаты нашего исследования опубликованы в виде тезисов «Диофантовы уравнения» в сборнике «Молодежь в науке» и в виде статьи «Диофантовы уравнения от древности до наших дней» в сборнике «Молодой ученый».

19 слайд:ТАКИМ ОБРАЗОМ, ВСЕ ЗАДАЧИ, СФОРМУЛИРОВАННЫЕ ВО ВВЕДЕНИИ, РЕШЕНЫ, ЦЕЛЬ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ ДОСТИГНУТА!!!

БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Кто такой Диофант?

Еще древние египтяне для удобства рассуждений придумали специальное слово, обозначавшее неизвестное число, но в то время не было еще знаков действий и знака равенства, поэтому и записывать уравнения они не умели.

Первым, кто придумал, как можно записать уравнение, был замечательный ученый Диофант Александрийский. Александрия была большим культурным, торговым и научным центром древнего мира. Этот город существует и сейчас, он находится на Средиземноморском побережье Египта.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

Нахождение количества решений и сами решения в заданном отрезке

Пусть даны два отрезка и , и требуется найти количество решений диофантова уравнения, лежащих в данных отрезках соответственно.

Заметим, что если одно из чисел равно нулю, то задача имеет не больше одного решения, поэтому эти случаи мы в данном разделе исключаем из рассмотрения.

Сначала найдём решение с минимальным подходящим , т.е. . Для этого сначала найдём любое решение диофантова уравнения (см. пункт 1). Затем получим из него решение с наименьшим — для этого воспользуемся процедурой, описанной в предыдущем пункте, и будем уменьшать/увеличивать , пока оно не окажется , и при этом минимальным. Это можно сделать за , посчитав, с каким коэффициентом нужно применить это преобразование, чтобы получить минимальное число, большее либо равное . Обозначим найденный через .

Аналогичным образом можно найти и решение с максимальным подходящим , т.е. .

Далее перейдём к удовлетворению ограничений на , т.е. к рассмотрению отрезка . Способом, описанным выше, найдём решение с минимальным , а также решение с максимальным . Обозначим -коэффициенты этих решений через и соответственно.

Пересечём отрезки и ; обозначим получившийся отрезок через . Утверждается, что любое решение, у которого -коэффициент лежит в — любое такое решение является подходящим. (Это верно в силу построения этого отрезка: сначала мы отдельно удовлетворили ограничения на и , получив два отрезка, а затем пересекли их, получив область, в которой удовлетворяются оба условия.)

Таким образом, количество решений будет равняться длине этого отрезка, делённой на (поскольку -коэффициент может изменяться только на ), и плюс один.

Приведём реализацию (она получилась достаточно сложной, поскольку требуется аккуратно рассматривать случаи положительных и отрицательных коэффициентов и ):

void shift_solution (int & x, int & y, int a, int b, int cnt) {
	x += cnt * b;
	y -= cnt * a;
}
 
int find_all_solutions (int a, int b, int c, int minx, int maxx, int miny, int maxy) {
	int x, y, g;
	if (! find_any_solution (a, b, c, x, y, g))
		return ;
	a = g;  b = g;
 
	int sign_a = a> ? +1  -1;
	int sign_b = b> ? +1  -1;
 
	shift_solution (x, y, a, b, (minx - x)  b);
	if (x < minx)
		shift_solution (x, y, a, b, sign_b);
	if (x > maxx)
		return ;
	int lx1 = x;
 
	shift_solution (x, y, a, b, (maxx - x)  b);
	if (x > maxx)
		shift_solution (x, y, a, b, -sign_b);
	int rx1 = x;
 
	shift_solution (x, y, a, b, - (miny - y)  a);
	if (y < miny)
		shift_solution (x, y, a, b, -sign_a);
	if (y > maxy)
		return ;
	int lx2 = x;
 
	shift_solution (x, y, a, b, - (maxy - y)  a);
	if (y > maxy)
		shift_solution (x, y, a, b, sign_a);
	int rx2 = x;
 
	if (lx2 > rx2)
		swap (lx2, rx2);
	int lx = max (lx1, lx2);
	int rx = min (rx1, rx2);
 
	return (rx - lx)  abs(b) + 1;
}

Также нетрудно добавить к этой реализации вывод всех найденных решений: для этого достаточно перебрать в отрезке с шагом , найдя для каждого из них соответствующий непосредственно из уравнения .

Поиск алгоритма выполнения неравенств

Другая эвристическая идея, используемая при изучении диофантовых уравнений, заключается в том, что если число переменных, участвующих в множестве неравенств – велико, то система обычно имеет решение. Однако это очень трудно доказать для любого конкретного случая. Общий подход к проблемам этого типа использует аналитическую теорию чисел и основан на оценках тригонометрических сумм. Этот метод первоначально применялся к специальным видам уравнений.

Однако впоследствии было доказано с его помощью, что если форма нечетной степени – это F, в d и n переменных и с рациональными коэффициентами, то n достаточно велико по сравнению с d, таким образом, имеет рациональную точку проективная гиперповерхность F = 0. Согласно гипотезе Артина, этот результат верен, даже если n > d2. Это доказано только для квадратичных форм. Аналогичные проблемы могут быть заданы и для других полей. Центральной проблемой диофантовой геометрии является структура множества целых или рациональных точек и их изучение, а первый вопрос, который нужно уточнить, состоит в том, является ли это множество конечным. В этой задаче ситуация обычно имеет конечное количество выполнений, если степень системы намного больше, чем число переменных. Это и есть основное предположение.

Проблема разрешимости

Задача нахождения алгоритма, с помощью которого можно определить, имеет ли какое-либо диофантово уравнение способ решения. Существенной особенностью поставленной задачи является поиск универсального метода, который был бы подходящим для любого неравенства. Такой метод также позволил бы решать указанные выше системы, так как он эквивалентен P21+⋯+P2k=0.п1= 0 , … , PK= 0п = 0,…,пК = 0 или п21+ ⋯ + P2К= 0 . п12+⋯+пК2=0. Проблема нахождения такого универсального способа обнаружения решений для линейных неравенств в целых числах была поставлена Д. Гильбертом.

В начале 1950-х годов появились первые исследования, направленные на доказательство не существования алгоритма решения диофантовых уравнений. В это время появилась гипотеза Дэвиса, в которой говорилось, что любое перечислимое множество также принадлежит греческому ученому. Поскольку примеры алгоритмически неразрешимых множеств известны, но являются рекурсивно перечислимыми. Следует, что гипотеза Дэвиса верна и проблема разрешимости этих уравнений имеет отрицательное выполнение.

После этого для гипотезы Дэвиса осталось доказать, что существует метод преобразования неравенства, которое также (или не имело) в то же время решение. Было показано, что такое изменение диофантового уравнения возможно, если оно с указанными двумя свойствами: 1) в любом решении этого типа v≤uu ; 2) для любого k существует выполнение, в котором присутствует экспоненциальный рост.

Пример линейного диофантового уравнения этого класса завершил доказательство. Задача о существовании алгоритма разрешимости и распознавания в рациональных числах этих неравенств считается по-прежнему важным и открытым вопросом, который не изучен в достаточной степени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Открытие диофантовых уравнений связано с именем греческого математика Диофанта. О его жизни практически ничего неизвестно, но сегодня диофантов анализ — это обширная и важная область математики.В данной работе мы

раскрыли понятия линейного неопределённого уравнения, неопределённого уравнения второй степени и методов их решений.

Исследованиями диофантовых уравнений на протяжении нескольких сот лет занималось очень много известных ученых. Общая теория решения диофантовых уравнений 1-й степени была создана в 17 веке К.Г.Баше. К началу 19 века трудами П.Ферма, Л.Эйлера, Дж. Валлиса и Ж.Лагранжа в основном было исследовано диофантово уравнение второго порядка ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, где a,b,c,d,e,f — целые числа. В исследованиях диофантовых уравнений выше второй степени с двумя неизвестными серьезные успехи достигнуты лишь в 20 веке А.Туэ, Б.Н.Делоне. Так, попытки доказать великую теорему Ферма, т.е. доказать неразрешимость в целых положительных числах уравнения xn + yn = zn при натуральном n, большим двух, увенчались успехом только летом 1995 г., через 300 лет после того, как Ферма выдвинул это предположение. Идея доказательства принадлежит Эндрю Вайлсу и Ричарду Тэйлору.

Основополагающее значение в становлении личности и деятельности учителя математики в процессе профессиональной подготовки имеет содержание обучения. В курсе «Алгебра и теория чисел», хотя и отдельной строкой не прописана такая область теории чисел, как теория диофантовых уравнений, но рассмотрение ее и необходимо и весьма полезно для формирования математической культуры учителя математики. Прежде всего, данная область связана со школьной математикой — в классах с углубленным изучением математики эта тема включена в программу, кроме того, процесс решения диофантовых уравнений позволяет проводить содержательные исследования на базе относительно элементарных средств; внести определенный вклад в решение ряда методических проблем подготовки учителя математики: развивать логическое мышление, повысить уровень математической культуры будущего учителя, прививать навыки самостоятельной исследовательской работы в математике и др.

Решение неопределённых уравнений — очень увлекательная задача. С древнейших времён накопилось множество способов решения конкретных диофантовых уравнений, однако, только в нашем веке появились общие приёмы их исследования.

В результате нашего исследования мы изучили дополнительную литературу. Основными из них являются: Башмакова И.Г., Акимова С., Бухштаб А. А..

ЛИТЕРАТУРА

Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург: Тригон, 1997. –

608 с.

Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. – М:. 1995.
Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972. — 68 с.
Болгарский Б. В. Очерки по истории математики. – Минск:. 1999.
Бухштаб, А. А. Теория чисел. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960. — 378 с.
Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – Москва:. 1998.
Виленкин Н. Я. За страницами учебника математики 10 – 11 класс. – М.: Просвещение, 1996. – 319 с.
Васильев Н. Б., Тутенмахер В. Л. Заочные математические олимпиады. – Москва:. 1996.
Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. – М:. 2000.
Гальперин Г. А., Тольпыго А. К. Московские математические олимпиады. – М:. 1998.
Генкин С. А., Интенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров:. 1994.
Егоров А. А. О дискриминанте. – Приложение к журналу «Квант», № 2/1994. 117 с.
Задачи математических олимпиад школьников Нижегородской области. – Н. Новгород:. 1998.
Заочные математические олимпиады. – М:. 1998.
Литвиненко В. Н., Мордкович А. Т. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия. – Москва:. 1991.
Постников М. М. Теорема Ферма. – Москва:. 1978.
Сивашинский И. Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям. – Москва:. 1971.
Школьная энциклопедия. Математика.; Под ред. С. М. Никольского – М.: Большая российская энциклопедия, 1996 –648 с.
Энциклопедия для детей Т. 11 (Математика) / под редакцией М. Д. Аксёнова – М.: Аванта +, 1998 – 688 с.
Энциклопедический словарь юного математика / под редакцией Гнеденко Б. В. – Москва:. Педагогика, 1985 –350 с.
Яковлев Г. Н. Всесоюзные математические олимпиады школьников. – Москва:. 1992.